Ⅳ- 3. 일차함수와 일차방정식의 관계

01

-  -

-  -

일차방정식 [eqn: 2x+3y+1=0]의 그래프와 그래프가 일치하는 일차함수는?

① [eqn: y=- {3} over {2} x-1]	② [eqn: y=- {3} over {2} x+1]

③ [eqn: y=- {2} over {3} x- {1} over {3}]	④ [eqn: y=- {2} over {3} x+ {1} over {3}]

⑤ [eqn: y=- {2} over {3} x+1]

02

일차방정식 [eqn: 3x-2y=-6]의 그래프에 대한 설명으로 옳은 것은?

① 오른쪽 아래로 향한다.

② [eqn: x]절편이 [eqn: 2], [eqn: y]절편이 [eqn: 3]이다.

③ 점 [eqn: LEFT ( 1,~2 RIGHT )]를 지난다.

④ 기울기가 [eqn: - {3} over {2}]이다.

⑤ [eqn: y= {3} over {2} x-4]의 그래프와 평행하고, 점 [eqn: LEFT ( 0,~3 RIGHT )]
을 지난다.

03

일차방정식 [eqn: ax+y+b=0]의 그래프가 제 [eqn: 1,~2,~4]사분면을 지날 때, 상수 [eqn: a,~b]의 부호는?

① [eqn: a>0,~b>0]	② [eqn: a>0,~b<0]

③ [eqn: a>0,~b=0]	④ [eqn: a<0,~b>0]

⑤ [eqn: a<0,~b<0]

04

일차방정식
[eqn: ax+y+a+b=0]의 그래프가 오른쪽 직선과 평행할 때, 이 그래프가 제 1 사분면을 지나지 않도록 하는 [eqn: b]의 값의 범위를 구하시오.
(단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

05

다음 중 [eqn: y]축에 수직인 직선의 방정식은?

① [eqn: 2x+y-1=0]	② [eqn: y=-3]

③ [eqn: 3x+y=2]	④ [eqn: 4x-2=1]

⑤ [eqn: {x} over {2} =3]

06

두 점 [eqn: (2a,~-3)], [eqn: (8-6a,~-10)]을 지나는 직선이 [eqn: x]축에 수직일 때, [eqn: a]의 값을 구하시오.

07

두 점 [eqn: (6,~3a)], [eqn: (5b+1,~9)]를 지나는 직선이 [eqn: y]축과 평행하고, 두 점 [eqn: (4,~a+2)], [eqn: (2b-4,~7)]을 지나는 직선이 [eqn: y]축과 수직으로 만날 때, [eqn: a+b]의 값은?

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

08

일차방정식 [eqn: ax-y =5],
[eqn: x+2y=b]의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: ab]의 값을 구하시오.

09

연립방정식
[eqn: {cases{x-y=2~~~~ CDOTS ㉠#2x+ay=10~ CDOTS ㉡}}]의 각 일차방정식의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, [eqn: a-2b]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.)

① [eqn: -11]	② [eqn: -9]	③ [eqn: -7]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 11]

10

오른쪽 그림에서 두 직선 [eqn: l,~m]의 교점의 좌표를 구하시오.

11

두 일차방정식 [eqn: x+3y=6]과 [eqn: 2x-y=a]의 그래프가 [eqn: x]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]라 하자.
[eqn: {bar{rm PQ it}} =8]일 때, 상수 [eqn: a]의 값을 모두 구하시오.

12

일차방정식 [eqn: 3x+y=6]의 그래프가 [eqn: x]축, [eqn: y]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 하자. 일차방정식
[eqn: ax+y=2]의 그래프가 삼각형 [eqn: rmOAB]의 넓이를 이등분할 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

13

일차방정식 [eqn: 2x+y+2k =0], [eqn: x-3y+k-3=0]의 그래프의 교점이 제 [eqn: 4] 사분면 위에 있도록 하는 가장 큰 정수 [eqn: k]의 값은?

① [eqn: -1]	② [eqn: 0]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

14

일차함수 [eqn: y=ax+b]의 그래프는 일차방정식 [eqn: x-2y=-2]의 그래프와 [eqn: x]축 위에서 만나고, 일차방정식 [eqn: 2x-3y=12]의 그래프와 [eqn: y]축 위에서 만난다. 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값을 구하시오.

15

두 일차방정식 [eqn: 3x-2y=-1,~x+4y=9]의 그래프의 교점을 지나고, 기울기가 [eqn: 2]인 직선의 방정식은?

① [eqn: y=2x-3]	② [eqn: y=2x-1]	③ [eqn: y=2x]

④ [eqn: y=2x+1]	⑤ [eqn: y=2x+4]

16

두 일차방정식 [eqn: x+2y=2,~2x+3y=2]의 그래프의 교점을 지나고, [eqn: y]축에 평행한 직선의 방정식은?

① [eqn: y= -2]	② [eqn: y =2]	③ [eqn: x = -2]

④ [eqn: x = 2]	⑤ [eqn: y = 2x - 2]

17

일차방정식 [eqn: 7x+y=3]의 그래프와 평행하고 두 일차방정식 [eqn: 2x-5y=-3], [eqn: x+3y=-7]의 그래프의 교점을 지나는 직선의 방정식이 [eqn: ax+y=b]일 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값을 구하시오.

18

두 일차방정식 [eqn: 3x-y=-6], [eqn: 2x+y=-4]의 그래프와 [eqn: y]축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하시오.

19

두 일차방정식 [eqn: 2x-y =4,~4x+3y =-12]의 그래프와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오.

20

세 일차방정식 [eqn: x+y=2], [eqn: 3x+2y=1],
[eqn: 2ax+ay=3]의 그래프가 한 점에서 만날 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

21

오른쪽 그림은 수직선 위를 일정한 속력으로 움직이는 두 물체 [eqn: rmA], [eqn: rmB]의 시간에 따른 좌표를 나타낸 것의 일부이다. 움직이기 시작한 지 [eqn: x]분 후의 좌표를 [eqn: y]라 할 때, 두 물체 [eqn: rmA], [eqn: rmB]가 움직이기 시작한 지 몇 분 후에 만나는지 구하시오.

22

세 일차방정식 [eqn: 2x+y=-1], [eqn: x-2y=-3],
[eqn: 4x-ay+11=0]의 그래프에 의하여 삼각형이 만들어지지 않도록 하는 모든 상수 [eqn: a]의 값의 합을 구하시오.

23

두 일차방정식 [eqn: ax-2y=6a], [eqn: 2x+y=3]의 그래프가 서로 평행할 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

24

두 일차방정식 [eqn: ax+by+c=0], [eqn: 2x-3y+6=0}]의 그래프의 교점이 [eqn: 2]개 이상일 때, 직선 [eqn: bx+ay-c=0]의 기울기는?
(단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 상수이다.)

① [eqn: - {3} over {2}]	② [eqn: - {2} over {3}]	③ [eqn: - {1} over {2}]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: {3} over {2}]

<정답 및 풀이>

Ⅳ- 3. 일차함수와 일차방정식의 관계

01 ③	02 ⑤	03 ②	04 [eqn: b ge -2]	05 ②

06 [eqn: 1]	07 ②	08 [eqn: -21]	09 ③	10 [eqn: left( - 1 over 2 ,~ 3 over 2 right)]

11 [eqn: -4], [eqn: 28]	12 [eqn: 1 over 3]	13 ②	14 [eqn: -6]	15 ③

16 ③	17 [eqn: -22]	18 [eqn: 10]	19 [eqn: 10]	20 [eqn: -3]

21 [eqn: 12]분	22 [eqn: 13]	23 [eqn: -4]	24 ⑤

02    ⑤

일차방정식에서 [eqn: y]를 [eqn: x]의 식으로 나타내면   [eqn: y= {3} over {2} x+3]

① 기울기가 양수이므로 오른쪽 위로 향한다.

② [eqn: x]절편이 [eqn: -2], [eqn: y]절편이 [eqn: 3]이다.

③ 점 [eqn: LEFT ( 1,~ {9} over {2} RIGHT )]를 지난다.

④ 기울기가 [eqn: {3} over {2}]이다.

03    ②

[eqn: ax+y+b=0]에서

[eqn: y = -ax-b]

그래프가 오른쪽 그림과 같으므로

[eqn: -a<0], [eqn: -b>0]

[eqn: THEREFORE `a>0], [eqn: b<0]

04    [eqn: b ge -2]

두 점 [eqn: (0,~3),~(2,~-1)]을 지나는 직선의 기울기는

[eqn: {-1-3} over {2-0} =-2]

[eqn: ax+y+a+b=0]에서 [eqn: y=-ax-a-b]이고, 이 그래프가 주어진 직선과 평행하므로

[eqn: -a=-2]   [eqn: THEREFORE `a=2]

따라서 [eqn: y=-2x-2-b]의 그래프가 제 [eqn: 1] 사분면을 지나지 않으려면   [eqn: -2-b LEQ 0]   [eqn: THEREFORE `b GEQ -2]

06    [eqn: 1]

[eqn: 2a=8-6a]이므로   [eqn: 8a=8]

[eqn: THEREFORE `a=1]

07    ②

두 점 [eqn: (6,~3a)], [eqn: (5b+1,~9)]를 지나는 직선이 [eqn: y]축과 평행하므로     [eqn: 6=5b+1]   [eqn: THEREFORE `b=1]

두 점 [eqn: (4,~a+2)], [eqn: (2b-4,~7)]을 지나는 직선이 [eqn: y]축과 수직으로 만나므로

[eqn: a+2=7]   [eqn: THEREFORE `a=5]

[eqn: THEREFORE `a+b=6]

08    [eqn: -21]

[eqn: x=-1], [eqn: y=2]를 [eqn: ax-y=5]에 대입하면

[eqn: -a-2=5]   [eqn: THEREFORE `a=-7]

[eqn: x=-1], [eqn: y=2]를 [eqn: x+2y=b]에 대입하면

[eqn: b=-1+4=3]

[eqn: THEREFORE `ab=-21]

09    ③

[eqn: x=b], [eqn: y=2]를 ㉠에 대입하면   [eqn: b-2=2]   [eqn: THEREFORE `b=4]

[eqn: x=4], [eqn: y=2]를 ㉡에 대입하면

[eqn: 8+2a=10]   [eqn: therefore~a=1]

[eqn: THEREFORE `a-2b=-7]

10    [eqn: left( - 1 over 2 ,~ 3 over 2 right)]

직선 [eqn: l]의 기울기는 [eqn: {2-0} over {0- LEFT ( -2 RIGHT )} =1]이고, [eqn: y]절편이 [eqn: 2]이므로 직선의 방정식은   [eqn: y=x+2]

직선 [eqn: m]의 기울기는 [eqn: {3-0} over {0- LEFT ( -1 RIGHT )} =3]이고, [eqn: y]절편이 [eqn: 3]이므로 직선의 방정식은   [eqn: y=3x+3]

연립방정식 [eqn: {cases{y=x+2`#y=3x+3}}]을 풀면

[eqn: x=- 1 over 2], [eqn: y= 3 over 2]

따라서 교점의 좌표는 [eqn: LEFT ( - 1 over 2 ,~ 3 over 2 RIGHT )]이다.

11    [eqn: -4,~28]

[eqn: x+3y=6]에 [eqn: y=0]을 대입하면   [eqn: x=6]   [eqn: THEREFORE `rmP LEFT ( 6,~0 RIGHT )]

[eqn: 2x-y=a]에 [eqn: y=0]을 대입하면   [eqn: x= {a} over {2}]   [eqn: THEREFORE rm Q LEFT ( {ita} over {2} ,~0 RIGHT )]

[eqn: {bar{rm PQ it}} =8]이므로   [eqn: LEFT | `6- {a} over {2} ` RIGHT | =8]

[eqn: 6- {a} over {2} =±8],   [eqn: {a} over {2} =-2] 또는 [eqn: {a} over {2} =14]

[eqn: THEREFORE `a=-4] 또는 [eqn: a=28]

12    [eqn: 1 over 3]

[eqn: rmA LEFT ( 2,~0 RIGHT )], [eqn: rmB LEFT ( 0,~6 RIGHT )]이므로 삼각형 [eqn: rmOAB]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES 2 TIMES 6=6]

점 [eqn: rmC LEFT ( 0,~2 RIGHT )]라 하고 두 직선의 교점을 [eqn: rmD]라 하면 삼각형 [eqn: rmBCD]의 넓이는 [eqn: 3]이다.

연립방정식 [eqn: {cases{3x+y=6#ax+y=2}}]를 만족시키는 [eqn: x]의 값은

[eqn: x= {4} over {3-a}]

따라서 교점 [eqn: rmD]의 [eqn: x]좌표가 [eqn: {4} over {3-a}]이므로 삼각형 [eqn: rmBCD]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES LEFT ( 6-2 RIGHT ) TIMES {4} over {3-a} =3]

[eqn: {8} over {3-a} = 3],   [eqn: 8=9-3a]   [eqn: THEREFORE `a= {1} over {3}]

13    ②

[eqn: {cases{2x+y+2k=0~~~ CDOTS ㉠#x-3y+k-3=0~ CDOTS ㉡}}]에서 [eqn: ㉠- ㉡ TIMES2]를 계산하면

[eqn: 7y+6=0]   [eqn: THEREFORE `y = - 6 over 7]

[eqn: y= - 6 over 7]을 ㉠에 대입하면

[eqn: 2x+ LEFT ( - {6} over {7} RIGHT ) +2k=0]   [eqn: THEREFORE `x= 3 over 7 -k]

따라서 두 일차방정식의 그래프의 교점의 좌표는
[eqn: left( 3 over 7 - k ,~ - 6 over 7 right)]이고, 이 점이 제 [eqn: 4] 사분면 위에 있으려면

[eqn: 3 over 7 - k >0]

[eqn: THEREFORE~k< {3} over {7}]

따라서 가장 큰 정수 [eqn: k]의 값은 [eqn: 0]이다.

14    [eqn: -6]

일차방정식 [eqn: x-2y=-2]의 그래프의 [eqn: x]절편은 [eqn: -2]이고, 일차방정식 [eqn: 2x-3y=12]의 [eqn: y]절편은 [eqn: -4]이므로 일차함수 [eqn: y=ax+b]의 그래프는 두 점 [eqn: LEFT ( -2,~0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 0,~-4 RIGHT )]를 지난다.

따라서 [eqn: b=-4]이고 [eqn: x=-2], [eqn: y=0]을 [eqn: y=ax-4]에 대입하면

[eqn: 0=-2a-4]   [eqn: THEREFORE~a=-2]

[eqn: THEREFORE~a+b=-6]

15    ③

연립방정식 [eqn: {cases{3x-2y=-1#x+4y=9}}]의 해를 구하면

[eqn: x=1], [eqn: y=2]

따라서 두 일차방정식의 그래프의 교점의 좌표는	[eqn: LEFT ( 1,~2 RIGHT )]

기울기가 [eqn: 2]인 직선의 방정식을 [eqn: y = 2x+b]라 하면 이 직선이 점 [eqn: (1,~2)]를 지나므로

[eqn: 2 = 2+b]   [eqn: therefore~b=0]

[eqn: THEREFORE~y=2x]

16    ③

연립방정식 [eqn: {cases{x+2y=2#2x+3y=2}}]의 해를 구하면

[eqn: x=-2], [eqn: y=2]

따라서 두 일차방정식의 그래프의 교점 [eqn: LEFT ( -2,~2 RIGHT )]를 지나고 [eqn: y]축에 평행한 직선의 방정식은

[eqn: x=-2]

17    [eqn: -22]

[eqn: 7x+y=3]에서   [eqn: y=-7x+3]

이므로 직선의 기울기는 [eqn: -7]이다.

연립방정식 [eqn: {cases{2x-5y=-3#x+3y=-7}}]의 해를 구하면

[eqn: x=-4], [eqn: y=-1]

따라서 직선 [eqn: y = -7x+k]가 두 일차방정식의 그래프의 교점 [eqn: LEFT ( -4,~-1 RIGHT )]을 지나므로   [eqn: -1 = 28+k]   [eqn: therefore~k=-29]

따라서 [eqn: y = -7x-29], 즉 [eqn: 7x+y=-29]이므로

[eqn: a=7], [eqn: b=-29]   [eqn: therefore~a+b=-22]

18    [eqn: 10]

연립방정식 [eqn: {cases{3x-y=-6#2x+y=-4}}]의 해를 구하면

[eqn: x=-2], [eqn: y=0]

따라서 두 일차방정식의 그래프의 교점의 좌표가 [eqn: LEFT ( -2,~0 RIGHT )]이고 [eqn: y]절편이 [eqn: 6], [eqn: -4]이므로 구하는 삼각형의 넓이는

• 본문 39 ~ 41쪽

[eqn: {1} over {2} TIMES LEFT ( 6+4 RIGHT ) TIMES 2=10]

19    [eqn: 10]

연립방정식 [eqn: cases{2x-y =4# 4x+3y =-12}]의 해를 구하면

[eqn: x =0,~y=-4]

따라서 두 일차방정식의 그래프의 교점의 좌표가 [eqn: (0,~-4)]이고 [eqn: x]절편이 [eqn: 2,~-3]이므로

구하는 넓이는

[eqn: 1 over 2 times (2+3) times 4 =10]

20    [eqn: -3]

연립방정식 [eqn: {cases{x+y=2#3x+2y=1}}]의 해를 구하면

[eqn: x=-3], [eqn: y=5]

일차방정식 [eqn: 2ax+ay=3]의 그래프가 점 [eqn: LEFT ( -3,~5 RIGHT )]를 지나므로

[eqn: -6a+5a=3]   [eqn: THEREFORE `a=-3]

21    [eqn: 12]분

[eqn: rmA]의 직선의 방정식은   [eqn: y = 3 over 4 x +3]

[eqn: rmB]의 직선의 방정식은   [eqn: y = x]

두 물체 [eqn: rmA], [eqn: rmB]가 만날 때 [eqn: y]의 값이 같아지므로

[eqn: 3 over 4 x +3 =x],   [eqn: - 1 over 4 x =-3]   [eqn: therefore~x =12]

따라서 두 물체 [eqn: rmA], [eqn: rmB]는 움직이기 시작한 지 [eqn: 12]분 후에 만난다.

22    [eqn: 13]

(ⅰ) 두 직선이 평행할 때

[eqn: 2x + y =-1]에서   [eqn: y = -2x -1],

[eqn: x-2y = -3]에서   [eqn: y = 1 over 2 x + 3 over 2]

[eqn: y = -2x-1]과 [eqn: 4x-ay+11=0]의 그래프가 평행하면

[eqn: -2= {4} over {a}]   [eqn: THEREFORE `a=-2]

[eqn: y = 1 over 2 x + 3 over 2]과 [eqn: 4x-ay+11=0]의 그래프가 평행하면

[eqn: {1} over {2} = {4} over {a}]   [eqn: THEREFORE `a=8]

(ⅱ) 세 직선이 한 점에서 만날 때

연립방정식 [eqn: {cases{2x+y=-1#x-2y=-3}}]의 해를 구하면

[eqn: x=-1], [eqn: y=1]

[eqn: 4x-ay+11=0]의 그래프가 점 [eqn: LEFT ( -1,~1 RIGHT )]을 지나면

[eqn: -4-a+11=0]   [eqn: THEREFORE `a=7]

이상에서 모든 상수 [eqn: a]의 값의 합은

[eqn: -2+8+7=13]

23    [eqn: -4]

[eqn: {a} over {2} = {-2} over {1} != {6a} over {3}]이므로   [eqn: a=-4]

24    ⑤

두 일차방정식의 그래프가 일치하므로

[eqn: {a} over {2} = {b} over {-3} = {c} over {6}]

[eqn: {a} over {2} = {b} over {-3} = {c} over {6} =k] ([eqn: k]는 상수, [eqn: k!=0])라 하면

[eqn: a=2k], [eqn: b=-3k], [eqn: c=6k]

이를 직선의 방정식 [eqn: bx+ay-c=0]에 대입하면

[eqn: -3kx+2ky-6k=0], 즉 [eqn: y = 3 over 2 x +3]

따라서 구하는 기울기는 [eqn: 3 over 2]이다.